Im Kampf Mensch gegen Maschine wurde der Homo sapiens in physischen Kategorien längst abgehängt. Schneller, höher, weiter als Auto, Flugzeug oder Rakete können wir nicht sein. Aber bisher konnten wir uns zumindest auf dem Erfolg ausruhen, dass die Maschine nie die höchsten Feinheiten menschlicher Geisteskraft und Intelligenz erreichen konnte. Bis die kalifornische KI-Firma OpenAI behauptete, mit ihrer KI eines der schwierigsten Fragen der Mathematik gelöst zu haben. Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben in der Physik die Dynamik von gewöhnlichen Flüssigkeiten und Gasen. Obwohl sie relativ einfach hergeleitet werden, sind alle bisherigen Lösungsversuche gescheitert. Daher zählen sie zu den Millennium-Problemen der Mathematik: sieben besonders schwierige mathematische Probleme, für deren Lösung um die Jahrtausendwende vom Clay Mathematics Institute (Oxford/Denver) je eine Million Dollar Preisgeld ausgelobt wurden.
Besonders kompliziert zu sein ist kein hinreichendes Kriterium, um in diese Liste aufgenommen zu werden. Denn alle Millennium-Probleme berühren auch die Grundlagen von Teilgebieten der Mathematik, so dass ihre Lösungen fundamentale Erkenntnisse liefern würden. Die Navier-Stokes-Gleichungen wurden in die Millennium-Probleme aufgenommen mit der Frage, ob alle Lösungen dieser Gleichungen „glatt“ sind. In der mathematischen Ausdrucksweise bedeutet das, dass die Lösungsfunktionen keine unendlich großen Werte (Singularitäten) entwickeln sollen. Aus einer physikalisch normalen Anfangsbedingung sollen weder unendlich hohe Wasserstände, noch unendlich schnelle Flussgeschwindigkeiten entstehen.
OpenAI behauptete am 8. September, eine Lösung für Navier-Stokes gefunden zu haben, die genau solche Singularitäten aufweist. Das Unternehmen ist in erster Linie für ChatGPT bekannt, das als erstes großes Sprachmodell der Öffentlichkeit verfügbar gemacht wurde. Und tatsächlich haben nicht primär die Mathematiker und Ingenieure von OpenAI diese Frage beantwortet, sondern OpenAIs neuestes, noch unveröffentlichtes KI-Modell.
10.000 KI-Agenten arbeiten gleichzeitig
Selbstverständlich wurde nicht „Welche Lösungen hat Navier-Stokes?“ in ChatGPT eingegeben. Ein System von mehreren Agenten, die jeweils mit der Rechenkraft eines KI-Modells ausgerüstet waren, haben über das Problem miteinander diskutiert. Arbeitsteilig sind verschiedene Agenten für Literaturrecherche, Lösungsansätze, mathematische Feinheiten und auch Widerlegungsversuche verantwortlich. Die Gruppe, die letztlich Navier-Stokes löste, bestand aus 10.000 gleichzeitig aktiven Agenten. „Über alle bearbeiteten Probleme hinweg versendeten die Agenten 4,9 Millionen Nachrichten“, beschreibt OpenAI die eigenen Aufwände.
Die so gefundene Lösung ist laut OpenAI ein Wirbel, der „sich spiralförmig nach innen bewegt und dabei wie Spaghetti immer länger wird“. Indem sich Beschleunigung, Druck, Impuls und Viskosität gegenseitig in einer präzisen Balance aufheben, können die einzelnen Werte ins Unendliche anwachsen. Das System wird singulär anstatt „glatt“, was zeige, „dass die Gleichungen das Fluid nicht mehr angemessen modellieren.“ Anstatt der klassischen Fluiddynamik, aus der die Navier-Stokes-Gleichungen stammen, wäre demnach eine Mathematik notwendig, die jedes einzelne Molekül beschreibt.
Bevor der Lösungsvorschlag anerkannt wird und OpenAI das Preisgeld von einer Million US-Dollar erhält, gilt es noch strenge Hürden zu überwinden. In der mathematischen Beweissprache Lean ist der Beweis bereits formalisiert worden, aber dennoch muss er auch in einem Fachjournal veröffentlicht werden. Danach beginnt die zweijährige Frist, in der andere Mathematiker Einwände erheben und Fehler finden können. Doch selbst wenn der Beweis hieb- und stichfest ist, kann OpenAI den Lorbeerkranz noch verlieren. Wie ein Damoklesschwert hängt ein schwerer Vorwurf über der Lösung. Denn die Mathematiker Tristan Buckmaster (New York University) und Levent Alpöge (Ex-Harvard) mutmaßen, dass ihre eigenen Lösungsansätze von OpenAI für ihre 10.000 Agenten verwendet wurden.
Der Lösungsweg zählt oft mehr als das bloße Ergebnis
Kurz vor OpenAIs Erfolgsmeldung hatte Buckmaster, der in Melbourne studierte und in Bonn promovierte, veröffentlicht, dass sein türkisch-amerikanischer Fachkollege und er mit Hilfe von KI-Modellen an der Lösung von Navier-Stokes gearbeitet haben – mit den Modellen „Claude“ von Anthropic und „Codex“ von OpenAI, hier insbesondere mit „GPT-5.6 Sol“ und „Astra“. Letzteres sei ausschließlich für die Überprüfung ihrer Argumente verwendet worden. OpenAI habe Buckmaster angeboten, gemeinsam die Ergebnisse zu veröffentlichen, wenn Alpöge, der beim Konkurrenzunternehmen Anthropic arbeitet, auf der Autorenliste übergangen wird. Eine Offenlegung der Prompts, mit denen OpenAI seine KI gesteuert hatte, habe das KI-Unternehmen abgelehnt. Buckmasters Frage, ob OpenAIs Modelle Zugang zu seinen Sitzungen mit der KI hatte, sei ebenfalls nicht beantwortet worden.
Jenseits dieser Kontroverse stellen sich Mathematiker die Frage, was aus ihnen und ihrer Disziplin wird, wenn die KI sie übertrumpft hat. „Das ist ein DeepBlue-Kasparow-Moment“, staunte Buckmaster: 1997 bezwang IBMs Schachcomputer DeepBlue den damaligen Weltmeister Garri Kasparow. Mathematische Probleme kann die KI nun offenbar mit derselben übermenschlichen Perfektion lösen. Doch sie kann noch nicht selbst die neuen, wichtigen Fragen aufwerfen, die die Forschung vorantreiben. Zudem ist ein einfaches „Ja“ oder „Nein“ als Antwort keine Erkenntnis, sondern bloße Information. Bereits in der Schulmathematik lernt man, dass der richtige Lösungsweg mehr zählt als das bloße Ergebnis, und in der mathematischen Forschung verhält es sich genauso. Trotz Kasparows Niederlage wird immer noch Schach gespielt, und auch die Mathematik wird immer ihre Faszination auf Menschen behalten.
Die Navier-Stokes-Gleichungen: Um 1840 arbeiteten Mathematiker und Physiker daran, das Verhalten von Fluiden zu verstehen. Druck, Reibung und Schwerkraft kommen als Einflussfaktoren zusammen. Flüssigkeiten wie Wasser und Öl, aber auch Gase wie die Luft können mit einfachen Annahmen beschrieben werden, so dass sich mit Hilfe der Newton-Mechanik die Navier-Stokes-Gleichungen herleiten ließen. Die mathematische Formulierung ist simpel, aber beim Versuch, sie zu lösen, zeigten sich Probleme: Da Druck und Flussgeschwindigkeit sich im Raum und Zeitverlauf ändern, müssen die Gleichungen beides gleichzeitig beschreiben. Der Druck sorgt zudem für einen nichtlokalen Einfluss, da er an einer Stelle des Raums sich auf das ganze Fluid auswirkt. Numerisch können die Navier-Stokes-Gleichungen approximiert und simuliert werden, etwa für die Strömungsdynamik von Fahrzeugen oder die Luft- und Wasserströmungen der Meteorologie. 1934 bewies der Franzose Jean Leray die Lösbarkeit der Gleichungen unter speziellen Bedingungen. Doch ob diese Lösungen allgemein existieren und keine plötzlichen Sprünge produzieren, war seitdem eines der ungelösten Millenium-Rätsel.
